Enfatizo el orden y puntualidad de cada explicación en el momento oportuno.
9
Resolvió cada una de las dudas en el momento preciso.
10
Tomó en cuenta el tiempo.
11
Utilizó su bolsa didáctica para trasportar su material didáctico.
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Manejó mapas conceptuales, mapas mentales, esquemas, cuadros comparativos, cuadro sinóptico, ejemplos, dibujos, fotografías, entre otros de manera eficaz, para lograr una mejor explicación.
13
Utilizó fichas, como medios auxiliares al realizar la exposición.
14
Material didáctico: Original, presentable, creativo adecuado a cada tema.
15
Motivación: Adecuada, constante, eficaz relacionada a cada tema.
16
Responsabilidad profesional: Puntualidad, respeto, vocabulario, presentación personal, mantenimiento de la disciplina.
17
Controló el uso innecesario de muletillas de dicción.
18
Presentó trabajo escrito.
19
Utilizó el pizarrón como medio auxiliar en el momento adecuado.
20
Utilizó el trazo correcto de los números y letras en cada uno de sus materiales.
Los datos que arrojan los estudios comparativos internacionales en torno a la educación (PISA, Eurydice) colocan a los alumnos finlandeses entre los más preparados del mundo.
Si imaginamos un país donde los niños empiezan la escuela un año más tarde que en España, tienen cerca de un 23% menos de horas de clase, y los profesores se concentran en educar y enseñar a sus alumnos más que prepararlos para rendir en los exámenes, tenderemos a pensar que estos niños obtendrían peores resultados que los españoles en un examen internacional. ¿Por qué entonces Finlandia es el país que lidera las evaluaciones educativas internacionales?
Las estadísticas
- Imagen: Jari Lehtikangas -
En el informe PISA (Programa para la Evaluación Internacional de los Alumnos), en el que participan 275.000 estudiantes de 15 años de 41 países, los estudiantes finlandeses ocuparon en sus dos ediciones, 2000 y 2003, el primer puesto en habilidad lectora, comprensión de la escritura y cultura matemática y se colocaron entre los cuatro primeros en otras materias. ¿Qué tiene Finlandia que no tengan los demás países? Según los datos de EUROSTAT (Oficina de Estadística de la Unión Europea) es cierto que el gasto público en educación en relación con el PIB es más alto en Finlandia (6,51%) que la media europea (5,21%), pero Dinamarca (8,28%) y Suecia (7,47%) lo superan y no obtienen los mismos resultados. Por otra parte, el gasto por alumno en este mismo nivel está muy por debajo de algunos países como Luxemburgo, Estados Unidos o Italia que ocupan los últimos puestos en PISA. Por lo tanto la clave no es una cuestión únicamente monetaria.
El mismo informe PISA proporciona algunas pistas sobre las razones de estos resultados en algunas de sus conclusiones más importantes: los países que cuentan con mayor grado de autonomía en sus centros y gran equidad entre sus colegios son los que obtienen mejores resultados, y Finlandia se sitúa en los primeros puestos respecto a estas dos variables.
Aún así, esta no es la única explicación. La hipótesis central a la que apuntan los especialistas en materia educativa para explicar el excelente rendimiento de los alumnos finlandeses es el alto grado formación del profesorado de educación primaria y secundaria, pero sin olvidar que los sistemas educativos son el resultado de la suma de tres factores que se interrelacionan: el familiar, el sociocultural y el escolar. En el caso finlandés estos factores se coordinan y potencian unos a otros dando lugar a los notorios resultados académicos de sus estudiantes.
El factor familiar, sociocultural y escolar
- Imagen: Sara O. - Finlandia es un país pequeño, con una sociedad democrática que destaca por sus altos índices de igualdad social y equidad, en parte gracias a las fuertes prestaciones económicas y las ayudas oficiales para las familias que ofrece el Estado finlandés. Si tenemos en cuenta que en las dos evaluaciones de PISA el factor más determinante de los resultados de los alumnos, que correlaciona en mayor medida en el rendimiento en todos los países, es el nivel socioeconómico y cultural de las familias, tenemos una de las claves del éxito de los alumnos finlandeses. En este país nórdico, no sólo la variación de puntuación en PISA según el estatus socioeconómico es mínima, sino que incluso los que obtienen peores resultados por esta variable se sitúan por encima de la media.
Por otra parte, el entorno de aprendizaje proporcionado por los hogares en Finlandia es el mejor punto de partida para la preparación de los alumnos. Un dato significativo es que el 55% de las familias finlandesas se consideran los primeros responsables de la educación de sus hijos (en España un 15%), esto es porque participan activamente en ella gracias a las medidas de conciliación laboral y familiar que existen en este país. Este dato, apoyado por el alto nivel de formación de los adultos (34% de la población de 25-64 años tiene estudios superiores), genera el entorno familiar más propicio para que los estudiantes obtengan buenos resultados académicos.
Si a esto sumamos el apoyo cultural del estado con una amplia red de bibliotecas, más de 1.900 bibliotecas públicas, la potenciación indirecta de la lectura y los idiomas que proporciona la televisión en Finlandia (no se traduce ningún programa ni película extranjera, por lo que desde muy pequeños los niños aprenden a leer los subtítulos rápidamente y se familiarizan con otros idiomas), y el elevado índice de lectura (87% de la población) y difusión de prensa, el más alto de Europa, obtenemos como resultado el panorama sociocultural idóneo para apoyar el sistema educativo finlandés.
Respecto al sistema escolar, la estructura de la escuela en Finlandia no difiere mucho del resto de países europeos, exceptuando la edad de escolarización obligatoria más tardía a los 7 años al igual que Dinamarca. Cuenta con una educación primaria (de 1º a 6º) y una secundaria obligatoria (7º a 9º), una vez terminados estos estudios, se puede acceder al bachillerato (tres cursos más) o a estudios profesionales de dos o tres cursos.
Sin embargo hay varios aspectos del sistema escolar que identifican a Finlandia. Como apunta Joan Subirats catedrático de Ciencia Política de la Universidad Autónoma de Barcelona, "¿Cuánta gente quisiera acercarse al modelo educativo finlandés si ello implicara asumir todos los aspectos no estrictamente educativos que son determinantes para explicar el buen rendimiento académico de sus estudiantes?".
Principios de la educación finlandesa:
- Las oportunidades de aprendizaje son prácticamente las mismas en todo el país, existe gran homogeneidad entre los centros educativos. En el Informe PISA 2003 la variación del rendimiento en Lectura por la diferencia entre centros es de un 36%, en Finlandia sólo un 5%.
- Gratuidad absoluta en la educación obligatoria, esto incluye los libros de texto, material, incluso una comida caliente al día. Tan sólo un 5% de la población asiste a escuelas privadas.
- Ninguna separación por niveles en ningún eslabón educativo, la diferencia entre los jóvenes con un mayor y menor rendimiento es relativamente pequeño. Un alumno con dificultades tiene la oportunidad de estudiar una o dos veces por semana con un pequeño grupo o incluso por separado con un profesor individual, los profesores se aseguran de que ningún alumno se quede atrás.
- Importante peso de los gobiernos locales y los colegios en la gestión educativa. Los municipios son los mayores responsables de las escuelas primarias y secundarias en Finlandia. El Estado marca un 75% de enseñanzas comunes y el resto lo organiza el colegio con la participación activa de profesores, estudiantes y familias.
- Profesores con gran autonomía pero también con gran responsabilidad y en permanente formación. Pueden escoger sus libros de texto o prescindir de ellos, enseñar dentro o fuera de las aulas, reunir a los niños en grupos grandes o pequeños.
La clave: la formación de los docentes
- Imagen: Matt Williams - La sólida y duradera formación de los profesores en Finlandia es una de las claves más importantes del éxito del sistema educativo. La profesión de docente es una de las más prestigiosas en el país y goza de una gran consideración por parte de los ciudadanos, no en vano es una de las carreras más solicitadas por los estudiantes, pero el camino para alcanzar el título no es nada fácil, tan sólo un 15% de los que lo solicitan pueden matricularse cada año.
El proceso de selección es minucioso. La primera fase, sólo para profesores de primaria, se lleva a cabo en una unidad de evaluación nacional en la Universidad de Jyvaskylä, y para acceder a ella se debe haber superado el 9 de media en bachillerato y revalida. En esta prueba, se analiza el perfil del candidato para escoger los mejores, lo que más se valora es la capacidad educativa y la sensibilidad social del aspirante. La segunda parte del proceso de selección, en la que participan también los profesores de secundaria, la lleva a cabo cada Facultad de Educación, y consiste en varias pruebas como una entrevista personal, una explicación ante una clase de un tema, una prueba matemática o la prueba de tecnología añadida en los últimos.
Los afortunados que hayan conseguido superar estos procesos se enfrentan luego a un largo camino para lograr la titulación universitaria de maestro. En 1980, para elevar el nivel educativo del país se recurrió a la medida estratégica de comenzar por elevar la formación de los profesores, estableciendo el modelo del maisterin tutkinto (cinco años de estudios universitarios a tiempo completo). Para ser maestro de primaria se requieren mínimo seis años de carrera, 6.400 horas de formación y estudio además de realizar una tesis como proyecto final de carrera. El profesor de secundaria se forma en las facultades de su especialidad, y después de superar la prueba de acceso entra en la Facultad de Educación, donde debe superar 1.400 horas de formación pedagógica.
Una vez con el titulo en la mano, no hay oposición para entrar en un centro educativo y adquirir la categoría de funcionario público municipal, son los directores de los colegios los que eligen al profesorado, situando a los más competentes en los primeros cursos de primaria, considerados los fundamentales para sentar las bases de la educación de un niño.
"La educación en Finlandia, un modelo a imitar"
Leí un artículo sobre la educación en Finlandia, el cual está catalogado como el mejor sistema en el mundo, que más quisiera que este fuera el modelo de educación en Guatemala, y considero que en toda América Latina, pero es un sueño.
El artículo dice que La piedra angular de este sistema educativo es el profesor o profesora, aunque también lo es la gratuidad absoluta, la solidaridad en clase con los alumnos que van más retrasados, ausencia de competitividad, pluralismo y las fuertes inversiones en formación y en medios.
El porqué el profesor es la piedra angular, devenga un muy buen sueldo, pero también posee una excelente formación y motivación para impartir sus conocimientos entre los alunmos. El estado hace fuertes inversiones en formación de profesorado y en medios, ayudan a los educadores a llevar a cabo su tarea. En las clases finlandesas hay una generalizada ausencia de competitividad.
El alumnado practica la solidaridad con sus compañeros más retrasados en los estudios con normalidad absoluta, toca a los profesores asegurarse que ninguno se quede atrás.
Veamos algunos datos del éxito de este sistema educativo:
1. La enseñanza obligatoria dura hasta el noveno año.
2. Se imparten 7 horas de clases.
3. 6.126 horas lectivas diarias desde los 7 hasta los 15 años.
4. Idiomas que deben de aprender: Sueco, inglés, francés y otro de su predilección.
5. El 71% de los alumnos ingresa a la Universidad.
6. El estado invierte el equivalente de Q. 367.79 (US$47.77) en cada alumno, en su formación obligatoria ( asumo que mensualmente ).
7. El sueldo de un profesor es el equivalente de Q. 30,600.00 (US$3,974.03).
8. No tiene ningún costo para las familias, incluso en la escuela privada.
Cada estudiante finlandés dedica a realizar sus deberes únicamente 30 minutos, mientras que en Guatemala puede utilizar de 2 a 3 horas, por la cantidad que les dejan.
Hay que resaltar que en lo que respecta al costo “0″ en el sistema finlandés, incluye los salarios de los profesores, material escolar, desde los libros hasta los lápices. El financiamiento alcanza también a los pocos centros educativos privados que existen.
Otro beneficio es que cada estudiante tiene derecho a comida caliente, garantizando así una buena alimentación. Otro beneficio es el transporte gratuito, si el alumno vive a más de 5 kilómetros del de estudios.
Los padres tienen casi total libertad de elegir el centro educativo para sus hijos, aunque las diferencias educativas son mínimas entre estos. El profesor, la piedra angular
Pero si algo caracteriza el perfecto funcionamiento del sistema escolar en Finlandia, es el profesor, piedra angular del éxito finlandés en materia educativa. Se ve enseguida que un profesor está motivado cuando te anima a estudiar y siempre parece feliz. Ah, y no nos mandan deberes, dice una alumna que ha participado en el estudio. La buena formación técnica y humana de los profesores garantiza unos excelentes resultados. Para dar clases se les exige una titulación universitaria de carácter superior. Ser maestro de Primaria requiere 6 años de carrera universitaria. Además, el hecho diferencial básico con respecto a otros países es que un profesor finlandés debe tener una formación dirigida, no sólo a poseer unos perfectos conocimientos de la materia que imparten, sino también a ser unos expertos en Pedagogía. De hecho, en Finlandia los profesores son considerados como los profesionales más importantes de la sociedad. Más lectura y menos televisión Por lo que respecta a los hábitos de los alumnos, tres de cada cuatro niños finlandeses de 15 años afirman leer todos los días por el mero placer de hacerlo.
Finlandia, un ejemplo para Latinoamérica
Educación, educación y más educación.
Al igual que otros muchos periodistas extranjeros, hice mi peregrinación a Finlandia para averiguar cómo hizo este país para trepar a los primeros puestos de los más importantes rankings internacionales que evalúan el éxito social, económico y político de las naciones. La respuesta, me enteré, es sorprendentemente simple.
Empecemos por los datos concretos. Finlandia ocupa el primer puesto entre 179 países en el índice anual de Transparencia Internacional sobre las naciones menos corruptas del mundo (EE.UU. ocupa el puesto número 20); también está en el primer puesto en el ranking de los países más democráticos del mundo de Freedom House (EE.UU. está en el puesto número 15); figura en el primer puesto en los exámenes internacionales de ciencia realizados por estudiantes de 15 años (EE.UU. está en el número 29), y está entre las 10 economías más competitivas del mundo según el Foro Económico Mundial (EE.UU. encabezó esa lista este año).
Un país pequeño, con tan sólo 5.3 millones de habitantes, que hace apenas dos décadas era el más pobre del norte europeo, Finlandia también puede jactarse de ser la sede de la empresa de celulares más grande del mundo –Nokia– y de tener las empresas papeleras y de pulpa más innovadoras del planeta.
El éxito finlandés ha provocado curiosidad en todo el mundo, especialmente en Latinoamérica, donde la mayoría de los países aún no han hecho la transición de ser exclusivamente exportadores de materias primas a convertirse en productores de productos de alta tecnología. ¿Cómo lo hicieron?, le pregunté a la presidenta de Finlandia, Tarja Halonen, en una extensa entrevista.
‘’Puedo resumirlo en tres palabras: educación, educación y educación’’, respondió. En las últimas décadas, Finlandia invirtió más que casi todos los otros países en la creación de un sistema educativo gratuito. Eso le permitió al país pasar de ser una economía agraria, basada en la industria maderera, a tener una industria de tecnología de avanzada, agregó.
¿Y cuál es el secreto de su sistema educativo?, le pregunté. Entre otras cosas, el excelente nivel de capacitación de los maestros de escuela primaria, dijo ella.
‘’Tenemos una larga fila de expertos internacionales que están haciendo cola frente a las puertas de nuestro Ministerio de Educación para ver qué pueden aprender de nuestro sistema’’, dijo Halonen. “Lo que les cuesta creer es que la respuesta sea tan simple como tener buenos maestros’’.
Por lo que vi durante mi vista de cinco días a Finlandia, los maestros están relativamente bien pagados y gozan de gran respeto social en este país. Es necesario tener al menos una maestría para enseñar en la primaria, y una licenciatura para enseñar en el kindergarten. Sólo 1 de cada 10 postulantes es admitido en la carrera universitaria de Educación.
“La profesión docente se hace cada vez más popular, especialmente entre las mujeres’’, me dijo Ossi Airaskorpi, director de la escuela Juvanpuisto, a casi una hora en auto de Helsinki. “En las décadas de 1980 y 1990, todo el mundo quería ser ejecutivo. Ahora, todos quieren ser maestros. Así pueden hacer parte de su trabajo en casa, cobrar un salario relativamente bueno, y tener dos meses y medio de vacaciones por año’’.
En una visita a un aula de primer grado de la escuela Juvanpuisto, vi a una maestra dictando clase, mientras una asistente estaba sentada en una de las mesas con un grupo de niños, y les susurraba al oído para ayudarlos a entender algo que no habían captado. En una pequeña aula contigua, una “maestra especial’’ le daba una lección personalizada, individual, a una niña que necesitaba apoyo adicional.
Las clases individuales ayudan a reducir la brecha entre los buenos estudiantes y los que no son tan buenos, lo cual ayuda a explicar por qué Finlandia obtiene tan buenos resultados en los exámenes estandarizados internacionales. Las escuelas finlandesas usan un programa de computación al que los padres de los alumnos pueden acceder todas las noches para recibir los últimos reportes sobre sus hijos, como por ejemplo si faltaron a la escuela, usaron su teléfono celular en clase, o deben hacer una tarea especial para el día siguiente.
Mi conclusión: Es cierto, Finlandia también es uno de los primeros puestos en los rankings internacionales de suicidios (aunque Halonen se apresuró en decirme que la tasa de suicidios de su país ha disminuido en los últimos años). Pero Finlandia podría ser un excelente ejemplo para los países latinoamericanos que quieren convertirse en exportadores de productos de alta tecnología. Los tres secretos de Finlandia: educación, educación y educación.
Educación En Guatemala
Educación En Guatemala
En Busca Del Sistema De Educación Ejemplar
La labor docente, es más que un trabajo, es una vocación; la base de una educación efectiva, es resultado de la preparación, esfuerzo, la entrega de quienes viven y aman lo que hacen. “Si buscas resultados distintos, no hagas siempre lo mismo”. (Albert Einstein). ¿Existirá algún lugar en el planeta, dónde el sistema de educación, pueda servir de ejemplo para los maestros qué trascienden, más que enseñando, formando las vidas de quienes son el futuro de nuestro país?
En nuestra Guatemala la mayoría de los niños y jóvenes no tiene un acceso a la educación, o sí lo tienen se encuentran en estado de decadencia, aun con una ley de gratuidad escolar, que preocupa a la población como nos lo muestran los titulares de algunos de los medios escritos de nuestro país a dos días de haber iniciado el ciclo escolar bajo esta ley (“Impacto negativo de gratuidad en escuelas” (Prensa Libre, 5/1/9); “Gratuidad en las escuelas deja planes frustrados” (el Periódico 12/1/9); “Dudan del número de inscritos en el ciclo escolar” (el Periódico 26/1/9); “Educación gratuita atrasa ciclo escolar” (El Quetzalteco 26/1/9). La población estudiantil no cuenta con los recursos necesarios para poder tener acceso a un sistema educativo, por medio del cual el gobierno provea una educación integral cubriendo no solo las necesidades cognoscitivas sino afectivas y personales de los estudiantes, con personal docente capacitado que tenga conciencia de una vocación, llena de amor y servicio. Pero… sí existe un lugar que desde hace 30 años han realizado profundas reformas en su sistema educativo, Finlandia, un estudio concluye que es un país donde las desigualdades consiguen ser corregidas mejor por la educación; es un país donde las diferencias de capacidad entre los chicos y chicas son las más bajas y dónde los alumnos tienen una valoración muy positiva de ellos mismos con relación a los aprendizajes, siendo guiados y dirigidos por profesores expertos.
Un todo se toma como unidad .La fracción expresa un valor en relación con ese todo.
2.UNA FRACCION ES UN OPERADOR.
Una fracción es un numero que opera a una cantidad y la transforma.
Para calcular la fracción de un numero ,se divide el numero por el denominador, y el resultado se multiplica por el numerador.
3.UNA FRACCION ES EL COCIENTE INDICADO DE DOS NUMEROS
Supón que con dos bidones de agua se ha dado de beber a cinco caballos.
¿Qué parte de deposito le ha correspondido a cada uno?
El reparto se resuelve con una división 2:5
Pero este resultado también se puede expresar con una fracción 2/5
Paso de fracción a decimal
Para transformar una fracción en un numero decimal ,se divide el numerador entre el denominador.
2-FRACCIONES EQUIVALENTES
Llamamos fracciones equivalentes a las que tienen el mismo valor numérico.
Tomemos como ejemplo las fracciones 1/2, 2/4 y 4/8
Estas fracciones son equivalentes porque expresan la misma porción de la unidad, esto es, tienen el mismo valor numérico.
RELACIÓN ENTRE LOS TERMINOS DE DOS FRACCIONES EQUIVALENTES
Si dos fracciones son equivalentes se verifica la siguiente igualdad: a/b=c/d=a.d=b.c
COMO OBTENER FRACCIONES EQUIVALENTES A UNA DADA
Propiedad fundamental de las fracciones
Si se multiplica (o se divide) los dos términos de una fracción por el mismo numero se obtiene una fracción equivalente a la primitiva. Es decir el valor de la fracción no varia.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Simplificar una fracción es sustituirla por otra equivalente con los términos mas sencillos.
Ejemplo:
Para simplificar una fracción ,se divide el numerador y el denominador por un divisor común de ambos términos.
Una fracción que no se puede simplificar se dice que es irreducible.
AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Amplificar una fracción es sustituirla por otra equivalente que resulta de multiplicar el numerador y el denominador por un mismo numero.
REDUCCIÓN DE FRACCIONES A COMUN DENOMINADOR
Reducir fracciones a común denominador es sustituirlas por otras equivalentes con el mismo denominador.
METODO PARA REDUCIR FRACCIONES A COMUN DENOMINADOR
Es importante que razones y comprendas cada uno de los pasos del proceso seguido.
Se calcula el mínimo común múltiplo, m, de los denominadores.
Se transforma cada fracción en otra equivalente que tenga por denominador m.
Para ello, se multiplican los dos miembros de cada fracción por el numero que resulta de dividir m por el denominador.
COMPARACIÓN DE FRACCIONES
Para comparar fracciones, podemos seguir dos procedimientos:
PRIMER METODO: PASAR A FORMA DECIMAL
Recordando que una fracción es un cociente indicado.
SEGUNDO METODO: REDUCIR A COMÚN DENOMINADOR
Si sustituimos cada fracción por otra equivalente de forma que todas tengan el mismo denominador la comparación resultará muy sencilla.
3-SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
CON IGUAL DENOMINADOR
Recuerda que para sumar o restar fracciones de igual denominador se suman o se restan los numeradores dejando el mismo denominador.
CON DISTINTO DENOMINADOR
Para sumar o restar fracciones con denominadores distintos, empezaremos por reducirlas a común denominador.
Para sumar o restar fracciones:
Se reducen primero a común denominador.(Si hay algún sumando entero, se le trata como una fracción de denominador 1).
Se suman o se restan los numeradores.(Todo lo que sabes sobre números positivos y números negativos puedes aplicarlo en el calculo con fracciones).
4-PRODUCTO DE FRACCIONES
Para multiplicar fracciones:
-Se multiplican los numeradores
-Se multiplican los denominadores
FRACCIONES INVERSAS
Las fracciones a/b y b/a son inversas
Su producto es la unidad.
5-COCIENTE DE FRACCIONES
Dividir dos números equivale a multiplicar el primero por el segundo.
Hay tres formas de cociente de fracciones división de dos números enteros, división de una fracciónentre un entero y división de dos fracciones.
Para dividir dos fracciones se multiplican los términos cruzados.
6-HISTORIA DE LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS
En las culturas mas primitivas solo se encuentra la idea de numero natural. Lo que interesaba era contar el numero de dias, de personas, de animales en la manada...Pero con la complejidad que aparece en los pueblos mas organizados, resulto necesario empezar a considerar repartos, divisiones, herencias..., lo que condujo a la idea de fracción.
EGIPTO
Ya en el siglo xx a.C, los egipcios manejaban las fracciones. Curiosamente, solo escribían directamente las que tienen numerador 1, poniendo el denominador con un punto encima (o bien con el símbolo encima)
GRECIA
Para los griegos, entre los siglos v y III a.C., las fracciones no eran propiamente números, sino relaciones entre números naturales.
Pitágoras y sus seguidores encontraron interesantes relaciones entre la música y los números
Suma y diferencia de fracciones
Con el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.
Con distinto denominador
En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.
Producto de fracciones
La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene:
Por numerador el producto de los numeradores.
Por denominador el producto de los denominadores.
Cociente de fracciones
La división de dos fracciones es otra fracción que tiene:
Por numerador el producto de los extremos.
Por denominador el producto de los medios.
Operaciones combinadas
Prioridades
1º.Pasar a fracción los números mixtos y decimales.
2º.Calcular las potencias y raíces
3º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves..
4º.Efectuar los productos y cocientes.
5º.Realizar las sumas y restas.
Primero operamos con las productos y números mixtos de los paréntesis.
Operamos en el primer paréntesis, quitamos el segundo, simplificamos en el tercero y operamos en el último.
Realizamos el producto y lo simplificamos.
Realizamos las operaciones del paréntesis.
Hacemos las operaciones del numerador, dividimos y simplificamos el resultado.
Operaciones con fracciones
Suma y resta de fracciones
1. Cuando tienen el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se deja el mismo denominador. Después si podemos se simplifica.
2. Cuando tienen distinto denominador
Hay que reducir a común denominador.
1º Se calcula el m.c.m. de los denominadores. Descomponemos en factores los denominadores y cogemos los factores comunes de mayor exponente y los no comunes.
2º Dividimos el m.c.m. obtenido entre cada uno de los denominadores y lo que nos dé lo multiplicamos por el número que haya en el numerador.
3º Ya tenemos todas las fracciones con el mismo denominador, sumamos o restamos los numeradores y dejamos el mismo denominador.
4º Si podemos simplificamos.
Para comparar fracciones de distinto denominador , primero debemos reducirlas a común denominador, luego ya las podemos ordenar y comparar.
Ejemplos
Producto de fracciones
1º Se multiplican los numeradores, este producto es el nuevo numerador.
2º Se multiplican los denominadores, su producto es el nuevo denominador.
3º Después se simplifica.
Fracción de un número: Es una multiplicación de fracciones, el número tiene como denominador uno.
Fracción de una fracción: Se multiplican las dos fracciones.
Fracción inversa: Se le da la vuelta, el numerador pasa a ser el denominador y el numerador es el nuevo denominador. Una fracción multiplicada por su inversa da la unidad.
División de fracciones
1º Multiplicamos el numerador de la primera por el denominador de la segunda, el producto es el nuevo numerador.
2º Multiplicamos el denominador de la primera por el numerador de la segunda, el producto es el nuevo denominador.
3º Después si podemos se simplifica.
Ejemplos de multiplicación y división de fracciones
Las fracciones se componen de: numerador, denominador y línea divisoria entre ambos (barra horizontal u oblícua). En una fracción común a / b el denominador b representa la cantidad de partes en que se ha fraccionado la unidad, y el numerador a es la cantidad de estas consideradas.
En matemática, la división es una operación aritmética de descomposición que consiste en averiguar cuántas veces un número (divisor) está contenido en otro número (dividendo). El resultado de una división recibe el nombre de cociente. De manera general puede decirse que la división es la operación inversa de la multiplicación, si bien la división no es un operación, propiamente dicha.
Debe distinguirse la división «exacta» (sujeto principal de este artículo) de la «división con resto» o residuo (la división euclídea). A diferencia de la suma, la resta o la multiplicación, la división entre números enteros no está siempre definida; en efecto: 4 dividido 2 es igual a 2 (un número entero), pero 2 entre 4 es igual a un medio, que ya no es un número entero. La definición formal de «división» dependerá luego del conjunto de definición.
Definir el concepto de producto notable.
Explicar y ejemplificar los cuatro tipos de productos notables.
Los productos notables, son productos que cumplen ciertas reglas que facilitan la forma de como se deberían resolver comúnmente y su principal característica es que su resultado se conoce a simple vista, sin la necesidad de hacer la multiplicación.
Existen cuatro productos notables.
1) El cuadrado de un binomio.
2) El cubo de un binomio.
3) Binomios conjugados.
4) Binomios con un término en común.
El cuadrado de un binomio.
a) Potencia de un monomio.
Para poder elevar un monomio a una potencia, se multiplica la base por si misma tantas veces como lo indique el exponente. Por ejemplo:
-52 = (-5) (-5) = 25
-x3 = (-x1 )(-x1)(-x1)= -x3
-5x2=(-5)(x)(x)=-5x2
(-5x)2=(-5x)(-5x)=25x2
(3x2)3=(3x2)(3x2)(3x2)=27x6
b) Potencia de un polinomio.
Para elevar un polinomio a una potencia, se multiplica el polinomio por si mismo tantas veces lo indique el exponente.
Ejemplo:
(3 + x)2 = (3 + x) (3 + x) = x2 + 6x +9
Existe una regla especial cuando se trata de elevar un binomio al cuadrado y existen dos casos:
1. Cuando el binomio es una suma, se conoce comúnmente como "el cuadrado de la suma de dos números" y dice lo siguiente:
El cuadrado de la suma de dos números es igual a:
El cuadrado del primer término.
Más el doble del producto del primer término por el segundo.
Más el cuadrado del segundo término.
Ejemplos:
(x +3)2 = x2 +2(x)(3)+9 = x2+6x+9
a) El cuadrado del primer término
x2=(x)(x)
b) Más el doble del producto del primer término por el segundo
(2)(x)(3)=6x
c) Más el cuadrado del segundo término
(3)2=(3)(3)=9
2. Cuando el binomio es una diferencia, se conoce como "el cuadrado de la diferencia de dos números" y la regla dice:
El cuadrado del primer término
Menos el doble del producto del primer término por el segundo
Más el cuadrado del segundo.
Ejemplo:
(x-3)2=x2–6x+9
a) El cuadrado del primer término
(x)2=(x)(x)=x2
b) El doble del producto del primer término por el segundo
2(x)(-3)=-6x
c) El cuadrado del segundo término
(-3)2=9
(no olvides utilizar la ley de los signos al realizar la potenciación de los números)
Ejercicios:
Realiza las siguientes potenciaciones; puedes comprobar tu resultado por medio de la multiplicación.
1) (2x-4)2
2) (5x2+3a)2
3) (a+b)2
4) (-7a2b–2b)2
Solución:
1) 4x2-16x +16
2) 25x4 +30x2a+9a2
3) a2+2ab+b2
4) 49a4b2+28a2b2+4b2
El cubo de un binomio.
Supongamos que tienes el binomio de forma (2x-5)3.
Para resolver esta potencia lo puedes hacer recurriendo a la multiplicación o por producto notable.
Por multiplicación se tendría lo siguiente.
(2x–5)3=(2x-5)(2x-5)(2x-5)
Por producto notable se lleva a cabo la siguiente regla:
El cubo del primer término.
El triple del cuadrado del primer término por el segundo.
El triple del cuadrado del segundo término por el primero.
El cubo del segundo término.
En nuestro caso (2x–5)3=8x3-60x2 +150x-125
a) El cubo del primer término.
(2x)3=(2x)(2x)(2x)=8x3
b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo.
3(2x)2(-5)=3(2x)(2x)(-5)=3(4x2)(-5)=-60x2
c) El triple del cuadrado del segundo término por el primero.
3(-5)2(2x)=3(-5)(-5)(2x)=3(25)(2x)=150x
d) El cubo del segundo término.
(-5)3=(-5)(-5)(-5)=-125
Ejemplo:
(2x2+3y2)3= 8x6+36x4y2+54x2y4+27y6
a) El cubo del primer término.
(2x2)3=(2x2)(2x2)(2x2)=8x6
b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo.
3(2x2)2(3 y2)=3(4x4)(3y2)=36x4y2
c) El triple del cuadrado del segundo término por el primero.
3(3y2)2(2x2)=3(9y4)(2x2)=54x2y4
d) El cubo del tercer término.
(3y2)3=(3y2)(3y2)(3y2)=27y6
Ejercicios:
Realiza las operaciones con las reglas del producto notable.
